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Filtro de Kalman

9 Abr

El filtro de Kalman es un algoritmo desarrollado por Rudolf E. Kalman en 1960 que sirve para poder identificar el estado oculto (no medible) de un sistema dinámico lineal, al igual que el observador de Luenberger, pero sirve además cuando el sistema está sometido a ruido blanco aditivo.1 La diferencia entre ambos es que en el observador de Luenberger, la ganancia K de realimentación del error debe ser elegida “a mano”, mientras que el filtro de Kalman es capaz de escogerla de forma óptima cuando se conocen las varianzas de los ruidos que afectan al sistema.

Algoritmo del Filtro discreto de Kalman[editar]
El Filtro de Kalman es un algoritmo recursivo en el que el estado \quad x_k es considerado una variable aleatoria Gaussiana. El filtro de Kalman suele describirse en dos pasos: Predicción y Corrección.

Predición

Estimación a priori
\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \mathbf{\Phi}_{k} \ \textbf{x}_{k-1|k-1}

Covarianza del error asociada a la estimación a priori

\textbf{P}_{k|k-1} = \mathbf{\Phi}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \mathbf{\Phi}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}

Correción

Actualización de la medición

\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k – \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}

Ganancia de Kalman \textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}(\textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k)^{-1}
Estimación a posteriori \hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k
Covarianza del error asociada a la estimación a posteriori \textbf{P}_{k|k} = (I – \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}
donde:

\mathbf{\Phi}_{k}: Matriz de Transición de estados. Es la matriz que relaciona \textbf{x}_{k|k-1} con \textbf{x}_{k-1|k-1} en la ausencia de funciones forzantes (funciones que dependen únicamente del tiempo y ninguna otra variable).

\textbf{x}_{k|k-1}: El estimado apriori del vector de estados.

\textbf{P}_{k|k-1} : Covarianza del error asociada a la estimación a priori.

\textbf{z}_k : Vector de mediciones al momento k.

\textbf{H}_k : La matriz que indica la relación entre mediciones y el vector de estado al momento k en el supuesto ideal de que no hubiera ruido en las mediciones.

\textbf{R}_k : La matriz de covarianza del ruido de las mediciones (depende de la resolución de los sensores).

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